Олімпіада юних математиків

61 Олімпіада юних математиків

2010 – 2011 навч. рік

6 клас

1.     Розрізати фігуру, що зображена на малюнку           

на 8 однакових частин.

2.     У парку росли липи та клени. Кленів серед них було 60%. Весною в парку посадили липи, після чого кленів стало 20%. А восени посадили клени і кленів стало знову 60%. У скільки разів збільшилась кількість дерев у парку за рік?

3.     Розшифрувати рівність  .

4.     Знайти два числа, якщо їх сума дорівнює 432, а найбільший спільний дільник дорівнює 36.

5.     Як, маючи дві посудини місткістю 9л і 4л, принести з річки 6л води?

61 Олімпіада юних математиків

2010 – 2011 навч. рік

7 клас

1.     У підводного царя служать осміноги у яких шість, сім, або вісім ніг. Ті, що мають 7 ніг, завжди брешуть, а ті, що мають 6 або 8 ніг завжди говорять правду. Зустрілися чотири осмінога. Синій сказав: «Разом у нас 28 ніг», зелений: «Разом у нас 27 ніг», жовтий: «Разом у нас 26 ніг», красний: «Разом у нас 25 ніг». У кого скільки ніг?

2.     Цифру 9, із якої починається трицифрове число, написали в кінці числа. Нове число на 216 менше, ніж початкове. Яке було початкове число?

3.     Двоє по черзі довільним чином фарбують одну або дві клітинки шахової дошки  у червоний колір. Виграє той, хто зафарбує останню клітинку. Хто з гравців має виграшну стратегію?

4.     Довести, що  ділиться на 5.

5.     Відновити запис множення			*	2	*
				*	7
			*	*	*
	*	*	*	*
	*	*	*	*	8

На виконання роботи відводиться 4 години

Кожне завдання оцінюється в 7 балів

Використання калькуляторів не дозволяється

61 Олімпіада юних математиків

2010 – 2011 навч. рік

8 клас

1.     На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС вибрана точка К, для якої СК = ВС. Відрізок СК перетинає бісектрису АМ в її середині. Знайти кути трикутника АВС.

2.     Довести, що вираз  набуває додатних значень при всіх значеннях х.

3.     Коли автомобіль проїхав частину шляху від А до В, виявилось, що він проїхав стільки кілометрів, скільки мінут йому прийдеться їхати частину шляху, що залишилась. Але, коли він проїхав і цю частину шляху, то виявилося, що знову він проїхав стільки кілометрів, скільки хвилин він витратив на першу частину шляху. Скільки кілометрів за годину проїжджав автомобіль?

4.     Побудувати графік функції  .

5.     Довести, що сума    ділиться на 120.

На виконання роботи відводиться 4 години

Кожне завдання оцінюється в 7 балів

Використання калькуляторів не дозволяється

61 Олімпіада юних математиків

2010 – 2011 навч. рік

9 клас

1.     Нехай - довжини сторін трикутника, а його площа. Відомо, що . Довести, що .

2.     Основи рівнобічної трапеції 3см і 12см, середина більшої основи з’єднана з кінцями меншої основи відрізками, що перетинають діагоналі трапеції в двох точках. Знайти відстань між цими точками.

3.     Довести, що , якщо     .

4.     Побудувати графік функції  .

5.     При яких значеннях а рівняння   має рівно три корені?

На виконання роботи відводиться 4 години

Кожне завдання оцінюється в 7 балів

Використання калькуляторів не дозволяється

61 Олімпіада юних математиків

2010 – 2011 навч. рік

10 клас

1.     Два кола перетинаються в точках А і В. В точці А до кіл проведені дві дотичні, які перетинають кола в точках M i N. Знайти суму кутів

2.     Довести нерівність  < 1.

3.     Розв’язати рівняння 

4.     Побудувати графік функції 

5.     Знайти найменше значення виразу  якщо

На виконання роботи відводиться 4 години

Кожне завдання оцінюється в 7 балів

Використання калькуляторів не дозволяється

61 Олімпіада юних математиків

2010 – 2011 навч. рік

11 клас

1.     Середина діагоналі АС чотирикутника , вписаного в коло, лежить на діагоналі . Довести, що .

2.     Розв’язати рівняння  .

3.     Числа, що виражають довжини сторін прямокутного трикутника, утворюють арифметичну прогресію. Менший катет цього трикутника дорівнює а. Знайти площу трикутника.

4.     Побудувати графік функції 

5.     Розв’язати систему рівнянь 

На виконання роботи відводиться 4 години

Кожне завдання оцінюється в 7 балів

Використання калькуляторів не дозволяється

Умови завдань другого (районного, міського) туру
Всеукраїнської олімпіади юних математиків
2010-2011 навчального року

6 клас

1. Розмовляють троє друзів на прізвища: Білокуров, Чорний та Рудий. Брюнет сказав Білокурову: «Цікаво, що один з нас блондин, другий – брюнет, а третій – рудий, але ні в одного колір волосся не відповідає прізвищу». Який колір волосся мають кожен з друзів? Відповідь поясніть.

2. На дошці записані числа 0, 1, 0, 0. За один крок дозволяється додавати одиницю до будь-яких двох з них. Чи можна, повторюючи цю операцію багато разів, досягти того, щоб усі числа стали рівними?

3. В тирі Петрик купив 5 куль. За кожний успішний постріл йому давали ще 5 куль. Петрик стверджує, що зробив 50 пострілів і 8 разів влучив у ціль, а його друг Василь каже, що такого бути не може. Хто з них правий і чому?

4. У правій і лівій кишенях Олега разом 35 коп. Якщо з правої кишені він перекладе в ліву стільки копійок, скільки було в лівій, то в правій кишені залишиться на 3 коп. більше, ніж в лівій. Скільки грошей було в Олега в кожній кишені спочатку?

5. Я задумав число, якщо до його половини додати чверть його, то вийде 18. Яке число я задумав?

Умови завдань другого (районного, міського) туру
Всеукраїнської олімпіади юних математиків
2010-2011 навчального року

7 клас

1. Доведіть, що при будь-якому натуральному  значення виразу  ділиться націло на 10.

2. Олег задумав натуральне число, помножив його на 13, викреслив останню цифру результату, одержане число помножив на 7, знову викреслив останню цифру результату і одержав число 21. Яке число задумав Олег?

3. Розв’язати рівняння .

4. Скільки трикутників зображено на малюнку?

5. Є 242 монети, серед яких одна фальшива і легша за інші, а усі інші – справжні. За скільки зважувань на терезах без важків з двома чашами можна визначити фальшиву монету?

Умови завдань другого (районного, міського) туру
Всеукраїнської олімпіади юних математиків
2010-2011 навчального року

8 клас

1. Відомо, що ціле число  не кратне 3. Доведіть, що  кратне 3.

2. Два брати, Олег і Тарас, хочуть провідати бабусю, що живе за 20 км. У них є велосипед, на якому може пересуватись лише один з братів. Олег ходить пішки зі швидкістю 5 км/год, а швидкість їзди на велосипеді 20 км/год, швидкість Тараса 4 км/год і 15 км/год відповідно. Велосипед можна залишити на дорозі без догляду. За який найменший час хлопці зможуть дістатися до бабусі?

3. Одна з основ рівнобічної трапеції вдвічі більша за іншу, а бічна сторона дорівнює меншій основі. Знайдіть кути трапеції.

4. Доведіть тотожність .

5. З довільної точки  катета  прямокутного трикутника  опущено перпендикуляр  на гіпотенузу . Доведіть, що .

Умови завдань другого (районного, міського) туру
Всеукраїнської олімпіади юних математиків
2010-2011 навчального року

9 клас

1. Знайти найбільше двоцифрове число, яке можна записати у вигляді суми десяти послідовних натуральних чисел.

2. Знайти всі значення , для яких рівняння  має два різні додатні парні цілі розв’язки.

3. Розв’яжіть систему рівнянь

4. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких  задовольняють нерівність .

5. У трикутнику  провели медіану  і бісектрису  (точки  і  не збігаються). На прямій  позначили точку  таку, що . З точки  опустили перпендикуляр  на пряму . Доведіть, що .

Умови завдань другого (районного, міського) туру
Всеукраїнської олімпіади юних математиків
2010-2011 навчального року

10 клас

1. Розв’яжіть рівняння .

2. Побудуйте графік рівняння , де  – найбільше ціле число, яке не перевищує .

3. Хлопчик і дівчинка проводять діагоналі в правильному 2010-кутнику так, щоб вони не перетиналися. Той, хто проведе таку діагональ останнім, виграє. Як повинна грати дівчинка, що починає гру, щоб виграти?

4.  та  – висоти гострокутного трикутника .  та  середини сторін  та  відповідно, . Доведіть, що відрізки  та  перпендикулярні.

5. Знайти всі прості числа , для яких число  є квадратом цілого числа.

Умови завдань другого (районного, міського) туру
Всеукраїнської олімпіади юних математиків
2010-2011 навчального року

11 клас

1. Розв’яжіть рівняння .

2. Розв’язати рівняння .

3. Знайти всі натуральні значення , для яких існують натуральні розв’язки  системи рівнянь

4. Знайдіть максимальне значення виразу , якщо відомо, що .

5. Основою прямої чотирикутної призми є ромб з гострим кутом . Під яким кутом до площини основи треба провести площину, щоб в перерізі був квадрат з вершинами на бічних ребрах призми?

Відповіді та вказівки до розв’язання
завдань другого (районного) туру
Всеукраїнської олімпіади юних математиків
2010-2011 навчального року

6 клас

1. Відповідь: Білокуров – рудий, Чорний – блондин, Рудий - брюнет.

2. Відповідь: ні.

    Додавати одиницю означає змінювати парність числа.

3. Відповідь: Василь.

     З двох хлопчиків правду каже Василь, оскільки за 8 вдалих пострілів Петрик одержав 40 додаткових куль, та ще 5 він купив, отже, зробив 45 пострілів, а не 50, як стверджував.

4. Відповідь: 8 і 27 коп.

      Нехай у лівій кишені Олега було х коп., тоді у правій кишені 35 – х. Після того як з правої кишені хлопчик переклав в ліву стільки копійок, скільки було в лівій, то в правій кишені стало 35 – х – х, а в лівій х + х, тоді складемо рівняння:

х + х + 3 = 35 – х – х;

2х + 3 = 35 -  2х;

4х = 32;

х = 8.

       В лівій кишені Олега було 8 коп., а в правій 27 коп.

 5. Відповідь: 24

      Позначимо задумане число через х.

      Тоді               ;

                                            

         

                            3х=72;

                              х=24.

Отже, задумане число дорівнює 24.

7 клас

1.     3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ=3ⁿ3²-2ⁿ2²+3ⁿ-2ⁿ=3ⁿ(3²+1)-2ⁿ(2²+1)=3ⁿ10-2ⁿ5=3ⁿ10-2^(n-1)+15=
=3ⁿ10-2^n-110=10(3ⁿ-2^n-1).

Оскільки один з множників ділиться на 10, то і весь добуток ділиться на 10.

Отже, при будь-якому натуральному n значення виразу 3ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²+3ⁿ-2ⁿ ділиться націло на 10.

2.     До числа 21 треба дописати таку цифру справа, щоб трицифрове число ділилося на 7. Це буде число 217.

217:7=31

До числа 31 треба дописати таку цифру справа, щоб трицифрове число ділилося на 13. Це буде число 312.

312:13=24.

Отже, Олег задумав число 24.

Відповідь: 24.

3.     |x| =  +2010.

1)    Якщо х 0, то |x| = x.

х =  +2010;

x-  = 2010 |2;

2х-х = 4020;

х = 4020.

2)    Якщо х 0, то |x| = -x.

-x =    +2010;

-x-  = 2010 |2;

-2х-х = 4020;

-3х = 4020;

х = -1340.

Відповідь: х₁ = 4020; х₂ = -1340.

4.     На малюнку зображено 32 трикутники.

5.  Ділимо всі монети на 3 купи, дві купи по 81 монеті і одна – 80 монет. Проведемо зважування двох куп по 81 монеті. Отримаємо два випадки:

1)     Якщо одна чаша переважила, значить в більш легкій чаші фальшива монета.

2)     Якщо терези в рівновазі, то фальшива монета серед 80 монет.

Розглянемо перший випадок:

1 крок. 81 монету ділимо на три купи по 27 монет. Фальшива монета серед 27 монет на чаші, якщо вона легша, або на купі, яка залишилася.

2 крок. 27 монет ділимо на три купи по 9 монет. Фальшива монета серед 9 монет на чаші, якщо вона легша, або на купі, яка залишилася.

3 крок. 9 монет ділимо на три купи по 3 монети. Фальшива монета серед 3 монет на чаші, якщо вона легша, або на купі, яка залишилася.

4 крок. 3 монети ділимо на три купи по 1 монеті. Фальшива монета на чаші, якщо вона легша, або та що залишилася.

Розглянемо другий випадок:

До 80 монет добавимо одну справжню монету із терезів. Тоді матимемо 81 монету. Здійснюємо зважування аналогічні 1-4 крокам першого випадку.

Таким чином, фальшиву монету можна визначити 5 зважуваннями.

8 клас

1. Якщо  не кратне 3, то його можна записати, як  або , де .

Тоді    або

.

В обох випадках вирази містять множник 3, отже   кратне 3, що й треба було довести.

2. Позначимо через х км відстань, яку Тарас іде пішки. Цю ж відстань Олег їде на велосипеді. Тепер їм залишилося подолати відстань (20-х) км, яку вже Тарас може їхати, а Олег мусить йти пішки. На дорогу Тарас затратить

 йдучи пішки, і  їдучи на велосипеді. Олег пішки буде йти

 а їхати  Оскільки брати одночасно вирушили в дорогу і повинні одночасно прибути до бабусі, то має місце рівняння:

                              ;   

                              ;

                            ;

                                                     20х=160;  х=8.

           (год) = 2год 48 хв.

Відповідь: На дорогу кожен з братів затратив 2 год 48 хв.

                                              

3. Перший спосіб

A

E

D

F

B

C

Нехай АВСD – дана трапеція, АВ=СD – бічні сторони. За умовою АD=2ВС, ВС=АВ=СD.

Позначимо АВ=СD=ВС=х, тоді АD=2х.

Проведемо висоти: ВЕ і CF. Оскільки ВСЕF -  прямокутник, то ЕF=ВС=х. Утворені прямокутні трикутники АЕВ і DFС рівні за гіпотенузою і катетом: АВ=СD, ВЕ=СF (як висоти трапеції). Тому   .  

В ΔАЕВ: , звідки  кут 30⁰, а  90⁰ - 30⁰ =60⁰.

Отже, в даній трапеції:  60⁰ , 60⁰,

                                                  180⁰-60⁰=120⁰.

Відповідь: 60⁰, 60⁰, 120⁰, 120⁰.

Другий спосіб

A

E

D

B

C

Нехай АВСD – дана трапеція, ( ), АВ=СD – бічні сторони. За умовою АD=2ВС, ВС=АВ=СD.

Позначимо АВ=СD=ВС=х, тоді АD=2х.

Проведемо . ВСDE -  паралелограм, тому ЕD=ВС=х, ВЕ=СD=х,

АЕ=АD-ЕD=2х-х=х. Трикутник АВЕ рівносторонній, бо АВ=ВЕ=АЕ=х.

Отже, в даній трапеції:  60⁰ , 60⁰,

                                                 180⁰-60⁰=120⁰.

Відповідь: 60⁰, 60⁰, 120⁰, 120⁰.

4. ;

Перетворимо обидві частини тотожності:

 ;

   

Ліва і права частина тотожності дорівнюють одному і тому самому виразу. Тотожність доведено.

5.

A

B

M

K

C

- прямокутний ( 90⁰),                                                                                 .

В чотирикутнику МКВС

і .

Оскільки сума цих двох протилежних кутів 180⁰, то навколо такого чотирикутника можна описати коло.  і  будуть вписаними в це коло. Крім того, вони спираються на ту саму дугу МС, звідки  = , що й треба було довести.